رتبه ماتریسی: تعریف، روش های یافتن

در این نشریه به تعریف رتبه یک ماتریس و همچنین روش هایی که می توان آن را پیدا کرد خواهیم پرداخت. ما همچنین نمونه هایی را برای نشان دادن کاربرد تئوری در عمل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

تعیین رتبه یک ماتریس

رتبه ماتریسی رتبه سیستم سطر یا ستون آن است. هر ماتریسی دارای رتبه های سطر و ستون خود است که با یکدیگر برابر هستند.

رتبه سیستم ردیف حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی است. رتبه سیستم ستون به روشی مشابه تعیین می شود.

یادداشت:

• رتبه ماتریس صفر (با نماد "θ") در هر اندازه ای صفر است.
• رتبه هر بردار سطر یا بردار ستون غیر صفر برابر با یک است.
• اگر یک ماتریس با هر اندازه ای حاوی حداقل یک عنصر باشد که برابر با صفر نباشد، رتبه آن کمتر از یک نیست.
• رتبه یک ماتریس از حداقل ابعاد آن بیشتر نیست.
• تبدیل های ابتدایی انجام شده بر روی یک ماتریس رتبه آن را تغییر نمی دهد.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس

روش فرینگ مینور

رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر مرتبه یک غیر صفر.

الگوریتم به شرح زیر است: خردسالان را از کمترین مرتبه تا بالاترین پیدا کنید. اگر جزئی است nمرتبه ام برابر با صفر نیست و تمام موارد بعدی (n+1) برابر با 0 هستند، بنابراین رتبه ماتریس برابر است n.

مثال

برای روشن تر شدن موضوع، بیایید یک مثال عملی بزنیم و رتبه ماتریس را پیدا کنیم A در زیر با استفاده از روش مرزبندی خردسالان.

راه حل

ما با یک ماتریس 4 × 4 سر و کار داریم، بنابراین رتبه آن نمی تواند بالاتر از 4 باشد. همچنین عناصر غیر صفر در ماتریس وجود دارد که به این معنی است که رتبه آن کمتر از یک نیست. پس بیایید شروع کنیم:

1. شروع به بررسی کنید خردسالان درجه دوم. برای شروع، دو ردیف از ستون اول و دوم را می گیریم.

مینور برابر با صفر است.

بنابراین، ما به مینور بعدی می رویم (ستون اول باقی می ماند و به جای دوم، ستون سوم را می گیریم).

مینور 54≠0 است، بنابراین رتبه ماتریس حداقل دو است.

توجه داشته باشید: اگر این جزئی برابر با صفر بود، ترکیب‌های زیر را بیشتر بررسی می‌کنیم:

در صورت نیاز، شمارش را می توان به همین ترتیب با رشته ها ادامه داد:

• 1 و 3؛
• 1 و 4؛
• 2 و 3؛
• 2 و 4؛
• 3 و 4.

اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود.

2. تقریباً بلافاصله موفق شدیم خردسالی را پیدا کنیم که مناسب ما باشد. پس بیایید به ادامه مطلب برویم خردسالان درجه سوم.

به مینور یافت شده مرتبه دوم، که نتیجه غیر صفر می دهد، یک سطر و یکی از ستون های برجسته شده با سبز را اضافه می کنیم (از دومی شروع می کنیم).

صغیر معلوم شد صفر است.

بنابراین، ستون دوم را به چهارم تغییر می دهیم. و در تلاش دوم موفق می شویم یک مینور را پیدا کنیم که برابر با صفر نیست، به این معنی که رتبه ماتریس نمی تواند کمتر از 3 باشد.

توجه داشته باشید: اگر نتیجه دوباره صفر بود، به جای ردیف دوم، ردیف چهارم را جلوتر می بردیم و به جستجوی یک مینور "خوب" ادامه می دادیم.

3. اکنون باید تعیین کرد خردسالان درجه چهارم بر اساس آنچه قبلاً پیدا شد. در این مورد، یکی است که با تعیین کننده ماتریس مطابقت دارد.

مینور برابر با 144≠0 است. این بدان معنی است که رتبه ماتریس A برابر با 4

کاهش یک ماتریس به شکل پلکانی

رتبه یک ماتریس پله ای برابر است با تعداد ردیف های غیر صفر آن. یعنی تنها کاری که باید انجام دهیم این است که ماتریس را به شکل مناسبی مثلاً با استفاده از , بیاوریم که همانطور که در بالا ذکر کردیم رتبه آن تغییر نمی کند.

مثال

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید B زیر ما یک مثال بیش از حد پیچیده نمی گیریم، زیرا هدف اصلی ما صرفاً نشان دادن کاربرد روش در عمل است.

راه حل

1. ابتدا دو برابر شده اول را از خط دوم کم کنید.

2. حالا ردیف اول را ضرب در چهار از ردیف سوم کم کنید.

بنابراین، ما یک ماتریس گام به دست آوردیم که در آن تعداد ردیف های غیر صفر برابر با دو است، بنابراین رتبه آن نیز برابر با 2 است.