استخراج ریشه یک عدد مختلط

در این نشریه، ما به این خواهیم پرداخت که چگونه می‌توانید ریشه یک عدد مختلط را بگیرید، و همچنین چگونه این می‌تواند به حل معادلات درجه دومی که تفکیک آنها کمتر از صفر است کمک کند.

استخراج ریشه یک عدد مختلط

ریشه دوم

همانطور که می دانیم، ریشه گرفتن یک عدد واقعی منفی غیرممکن است. اما در مورد اعداد مختلط، این عمل قابل انجام است. بیایید آن را بفهمیم.

فرض کنید یک عدد داریم z = -9. برای √-9 دو ریشه وجود دارد:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

اجازه دهید با حل معادله نتایج به دست آمده را بررسی کنیم z² = -9، فراموش نکنیم که i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ من² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ من² = 9 ⋅ (-1) = -9

بنابراین، ما این را ثابت کرده ایم -3i и 3i ریشه هستند √-9.

ریشه یک عدد منفی معمولا به این صورت نوشته می شود:

√-1 = ± من

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i و غیره.

ریشه به توان n

فرض کنید به ما معادلات فرم داده شده است z = ⁿ√w… این دارد n ریشه (z₀، از₁، از₂,…, z_n-1) که با استفاده از فرمول زیر قابل محاسبه است:

|w| ماژول یک عدد مختلط است w;

φ - استدلال او

k پارامتری است که مقادیر زیر را می گیرد: k = {0، 1، 2،…، n-1}.

معادلات درجه دوم با ریشه های پیچیده

استخراج ریشه یک عدد منفی ایده معمول uXNUMXbuXNUMXb را تغییر می دهد. اگر ممیز (D) کمتر از صفر است، پس ریشه های واقعی نمی توانند وجود داشته باشند، اما می توانند به صورت اعداد مختلط نمایش داده شوند.

مثال

بیایید معادله را حل کنیم x² - 8x + 20 = 0.

راه حل

a = 1، b = -8، c = 20

D = b² – 4ac = 64 -80 = -16

D < 0، اما هنوز هم می توانیم ریشه تمایز منفی را پیدا کنیم:

√D =-16 = ± 4i

اکنون می توانیم ریشه ها را محاسبه کنیم:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

بنابراین، معادله x² - 8x + 20 = 0 دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 - 2i