افزایش یک عدد مختلط به توان طبیعی

در این نشریه، ما در نظر خواهیم گرفت که چگونه یک عدد مختلط را می توان به توان رساند (از جمله با استفاده از فرمول De Moivre). مطالب نظری با مثال هایی برای درک بهتر همراه است.

افزایش یک عدد مختلط به توان

ابتدا به یاد داشته باشید که یک عدد مختلط شکل کلی دارد: z = a + bi (شکل جبری).

اکنون می توانیم مستقیماً به حل مشکل ادامه دهیم.

عدد مربع

می‌توانیم درجه را به‌عنوان حاصلضرب همان عوامل نشان دهیم، و سپس محصول آن‌ها را پیدا کنیم (در حالی که آن را به خاطر می‌آوریم i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

به عنوان مثال 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

شما همچنین می توانید استفاده کنید، یعنی مربع مجموع:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – ب²

توجه داشته باشید: به همین ترتیب، در صورت لزوم، فرمول هایی برای مجذور اختلاف، مکعب مجموع / تفاوت و غیره را می توان به دست آورد.

درجه نهم

یک عدد مختلط را بالا ببرید z در نوع n اگر به شکل مثلثاتی نشان داده شود بسیار ساده تر است.

به یاد بیاورید که به طور کلی نماد یک عدد به این صورت است: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

برای افزایش قدرت، می توانید استفاده کنید فرمول دو مویور (به این نام از ریاضیدان انگلیسی آبراهام دی مویور نامگذاری شده است):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

فرمول با نوشتن به صورت مثلثاتی به دست می آید (ماژول ها ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند).

2 مثال

یک عدد مختلط را بالا ببرید z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) تا درجه هشتم

راه حل

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35 درجه) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35 درجه)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).