حد یک تابع چقدر است

در این نشریه، یکی از مفاهیم اصلی آنالیز ریاضی – حد تابع: تعریف آن و همچنین راه حل های مختلف با مثال های کاربردی را در نظر خواهیم گرفت.

تعیین حد یک تابع

محدودیت عملکرد – مقداری که مقدار این تابع زمانی که آرگومان آن به نقطه محدود گرایش پیدا می کند به آن گرایش پیدا می کند.

رکورد محدود:

• محدودیت با نماد نشان داده می شود لیمو;
• در زیر آن اضافه می شود که آرگومان (متغیر) تابع به چه مقداری تمایل دارد. معمولا این x، اما نه لزوما، برای مثال:x→ 1 اینچ؛
• سپس خود تابع در سمت راست اضافه می شود، به عنوان مثال:

  

بنابراین، رکورد نهایی حد به این شکل است (در مورد ما):

مانند می خواند "محدودیت تابع به عنوان x تمایل به وحدت".

x→ 1 - این بدان معنی است که "x" به طور مداوم مقادیری را می گیرد که بی نهایت به وحدت نزدیک می شود، اما هرگز با آن منطبق نمی شود (به آن نمی رسد).

محدودیت های تصمیم گیری

با یک عدد معین

بیایید حد بالا را حل کنیم. برای انجام این کار، به سادگی واحد را در تابع جایگزین کنید (زیرا x→ 1):

بنابراین، برای حل حد، ابتدا سعی می کنیم به سادگی عدد داده شده را در تابع زیر آن جایگزین کنیم (اگر x به یک عدد خاص تمایل دارد).

با بی نهایت

در این حالت آرگومان تابع بی نهایت افزایش می یابد، یعنی "ایکس" به بی نهایت (∞) تمایل دارد. مثلا:

If x→∞، سپس تابع داده شده به منهای بی نهایت (-∞) تمایل دارد، زیرا:

• 3 - 1 = 2
• 3 -10 = -7
• 3 -100 = -97
• 3 - 1000 - 997 و غیره

مثال پیچیده تر دیگر

برای حل این محدودیت، به سادگی مقادیر را نیز افزایش دهید x و به "رفتار" تابع در این مورد نگاه کنید.

• RџСўРё x = 1، y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10، y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100، y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

بنابراین ، برای "ایکس"تمایل به بی نهایت، تابع x² + 3x - 6 به طور نامحدود رشد می کند.

با عدم قطعیت (x به بی نهایت تمایل دارد)

در این مورد، ما در مورد حد صحبت می کنیم، زمانی که تابع یک کسری است که صورت و مخرج آن چند جمله ای هستند. که در آن "ایکس" به بی نهایت تمایل دارد

مثال: بیایید حد زیر را محاسبه کنیم.

راه حل

عبارات هم در صورت و هم در مخرج به بی نهایت تمایل دارند. می توان فرض کرد که در این حالت راه حل به صورت زیر خواهد بود:

با این حال، همه چیز به این سادگی نیست. برای حل محدودیت باید موارد زیر را انجام دهیم:

1. پیدا کنید x به بالاترین توان برای شمارنده (در مورد ما، دو است).

2. به همین ترتیب تعریف می کنیم x به بالاترین توان برای مخرج (همچنین برابر با دو).

3. حالا هم صورت و هم مخرج را بر تقسیم می کنیم x در مقطع ارشد در مورد ما، در هر دو مورد - در مورد دوم، اما اگر آنها متفاوت بودند، ما باید بالاترین درجه را بگیریم.

4. در نتیجه به دست آمده، همه کسرها به سمت صفر تمایل دارند، بنابراین پاسخ 1/2 است.

با عدم قطعیت (x به یک عدد خاص تمایل دارد)

هر دو صورت و مخرج چند جمله ای هستند، با این حال، "ایکس" به یک عدد خاص تمایل دارد، نه به بی نهایت.

در این حالت، ما به صورت مشروط چشمان خود را روی این واقعیت می بندیم که مخرج صفر است.

مثال: بیایید حد تابع زیر را پیدا کنیم.

راه حل

1. ابتدا عدد 1 را جایگزین تابع می کنیم "ایکس". ما عدم قطعیت فرم مورد نظر را دریافت می کنیم.

2. در مرحله بعد، صورت و مخرج را به فاکتورها تجزیه می کنیم. برای این کار می توانید از فرمول های ضرب اختصاری در صورت مناسب بودن یا استفاده کنید.

در مورد ما، ریشه های عبارت در صورت (2x² - 5x + 3 = 0) اعداد 1 و 1,5 و XNUMX هستند. بنابراین، می توان آن را به صورت زیر نشان داد: 2 (x-1) (x-1,5).

مخرج (x–1) در ابتدا ساده است.

3. چنین محدودیت اصلاح شده ای دریافت می کنیم:

4. کسر را می توان با (x–1):

5. فقط باید عدد 1 را در عبارت به دست آمده تحت حد جایگزین کنیم: