قضیه کوچک فرما

در این مقاله به بررسی یکی از قضایای اصلی در نظریه اعداد صحیح خواهیم پرداخت.  قضیه کوچک فرمابه نام ریاضیدان فرانسوی پیر دو فرما نامگذاری شده است. ما همچنین نمونه ای از حل مسئله را برای ادغام مطالب ارائه شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیان قضیه

1. اولیه

If p یک عدد اول است a یک عدد صحیح است که بر آن بخش پذیر نیست pسپس a^p-1 - 1 تقسیم بر p.

رسماً اینگونه نوشته شده است: a^p-1 ≡ 1 (در برابر p).

توجه داشته باشید: عدد اول یک عدد طبیعی است که فقط بر XNUMX و خودش بدون باقیمانده بخش پذیر است.

مثلا:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• عدد 15 تقسیم بر 5 بدون باقیمانده

2. بدیل

If p یک عدد اول است، a پس هر عدد صحیح a^p قابل مقایسه با a مدول p.

a^p ≡ الف (در برابر p)

تاریخچه یافتن شواهد

پیر دو فرما این قضیه را در سال 1640 فرموله کرد، اما خودش آن را ثابت نکرد. بعدها، این کار توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، فیلسوف، منطق‌دان، ریاضی‌دان آلمانی و غیره انجام شد. اعتقاد بر این است که او قبلاً تا سال 1683 این مدرک را داشت، اگرچه هرگز منتشر نشد. قابل توجه است که لایب نیتس خود این قضیه را کشف کرد، بدون اینکه بداند قبلاً قبلاً فرموله شده است.

اولین اثبات این قضیه در سال 1736 منتشر شد و متعلق به لئونارد اویلر، ریاضیدان و مکانیک سوئیسی، آلمانی و مکانیک است. قضیه کوچک فرما یک مورد خاص از قضیه اویلر است.

نمونه ای از یک مشکل

باقیمانده یک عدد را پیدا کنید 2¹² on 12.

راه حل

بیایید یک عدد را تصور کنیم 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 یک عدد اول است، بنابراین با قضیه کوچک فرما به دست می آوریم:

2¹¹ ≡ 2 (در برابر 11).

از این رو، 2⋅2¹¹ ≡ 4 (در برابر 11).

بنابراین شماره 2¹² تقسیم بر 12 با باقی مانده برابر است 4.