پیدا کردن ماتریس معکوس

در این نشریه، ماتریس معکوس چیست و همچنین با استفاده از یک مثال عملی، نحوه یافتن آن را با استفاده از یک فرمول خاص و یک الگوریتم برای اقدامات متوالی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

تعریف ماتریس معکوس

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که متقابل ها در ریاضیات چیست. فرض کنید عدد 7 را داریم سپس معکوس آن 7 خواهد بود^-1 or ¹/₇. اگر این اعداد را ضرب کنید، یک می شود، یعنی 7 7^-1 = 1.

در مورد ماتریس ها تقریباً به همین صورت است. معکوس چنین ماتریسی نامیده می شود که با ضرب آن در ماتریس اصلی، یک هویت را بدست می آوریم. او به عنوان برچسب زده شده است A^-1.

الف · الف^-1 =E

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

برای یافتن ماتریس معکوس، باید بتوانید ماتریس ها را محاسبه کنید و همچنین مهارت انجام اقدامات خاصی را با آنها داشته باشید.

فوراً باید توجه داشت که معکوس را فقط می توان برای یک ماتریس مربع پیدا کرد و این با استفاده از فرمول زیر انجام می شود:

|A| - تعیین کننده ماتریس؛

A^T_M ماتریس جابجایی اضافات جبری است.

توجه داشته باشید: اگر دترمینان صفر باشد، ماتریس معکوس وجود ندارد.

مثال

بیایید برای ماتریس پیدا کنیم A در زیر عکس آن است.

راه حل

1. ابتدا، بیایید تعیین کننده ماتریس داده شده را پیدا کنیم.

2. حالا بیایید ماتریسی بسازیم که ابعادی مشابه ماتریس اصلی داشته باشد:

ما باید بفهمیم که کدام اعداد باید جایگزین ستاره ها شوند. بیایید با عنصر سمت چپ بالای ماتریس شروع کنیم. جزئی به آن با خط زدن سطر و ستونی که در آن قرار دارد پیدا می شود، یعنی در هر دو مورد در شماره یک.

عددی که بعد از خط زدن باقی می‌ماند، جزئی مورد نیاز است، یعنی M₁₁ = 8.

به همین ترتیب، مینورها را برای عناصر باقیمانده ماتریس پیدا می کنیم و نتیجه زیر را به دست می آوریم.

3. ماتریس جمع های جبری را تعریف می کنیم. نحوه محاسبه آنها برای هر عنصر را در یک جداگانه در نظر گرفتیم.

به عنوان مثال، برای یک عنصر a₁₁ جمع جبری به صورت زیر در نظر گرفته می شود:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. جابجایی ماتریس حاصل از اضافات جبری را انجام دهید (یعنی ستون ها و سطرها را عوض کنید).

5. برای یافتن ماتریس معکوس فقط باید از فرمول بالا استفاده کرد.

ما می توانیم بدون تقسیم عناصر ماتریس بر عدد 11، پاسخ را به این شکل بگذاریم، زیرا در این حالت اعداد کسری زشت به دست می آید.

بررسی نتیجه

برای اطمینان از اینکه معکوس ماتریس اصلی را به دست آورده ایم، می توانیم حاصل ضرب آنها را پیدا کنیم که باید برابر با ماتریس هویت باشد.

در نتیجه، ماتریس هویت را دریافت کردیم، به این معنی که همه چیز را درست انجام دادیم.