ویژگی های ارتفاع مثلث قائم الزاویه

در این نشریه به بررسی ویژگی های اصلی ارتفاع در مثلث قائم الزاویه می پردازیم و همچنین نمونه هایی از حل مسائل مربوط به این موضوع را تحلیل خواهیم کرد.

توجه داشته باشید: مثلث نامیده می شود مستطیل، اگر یکی از زاویه های آن قائم باشد (برابر 90 درجه) و دو زاویه دیگر تند باشد (<90 درجه).

ویژگی های ارتفاع در مثلث قائم الزاویه

ویژگی 1

مثلث قائم الزاویه دو ارتفاع دارد (h₁ и h₂) با پاهای آن منطبق است.

قد سوم (h₃) از زاویه قائمه به سمت هیپوتنوس فرود می آید.

ویژگی 2

مرکز قائم (نقطه تلاقی ارتفاعات) مثلث قائم الزاویه در رأس زاویه قائمه قرار دارد.

ویژگی 3

ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که به سمت هیپوتنوس کشیده شده است، آن را به دو مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که آنها نیز شبیه به مثلث اصلی هستند.

1. △ABD ~ △الفبا در دو زاویه مساوی: ∠ADB = ∠LAC (خطوط مستقیم)، ∠ABD = ∠ABC

2. △ADC ~ △الفبا در دو زاویه مساوی: ∠ADC = ∠LAC (خطوط مستقیم)، ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC در دو زاویه مساوی: ∠ABD = ∠DAC، ∠بد = ∠ACD.

اثبات: ∠بد = 90 درجه - ∠ABD (ABC). همزمان ∠ACD (ACB) = 90 درجه - ∠الفبا.

بنابراین، ∠بد = ∠ACD.

می توان به روشی مشابه ثابت کرد که ∠ABD = ∠DAC.

ویژگی 4

در مثلث قائم الزاویه، ارتفاع رسم شده به هیپوتانوس به صورت زیر محاسبه می شود:

1. از طریق بخش های روی هیپوتنوز، که در نتیجه تقسیم آن بر پایه ارتفاع تشکیل شده است:

2. از طول اضلاع مثلث:

این فرمول از ویژگی های سینوس یک زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه (سینوس زاویه برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز):

توجه داشته باشید: برای یک مثلث قائم الزاویه، ویژگی های ارتفاع کلی ارائه شده در نشریه ما - نیز اعمال می شود.

نمونه ای از یک مشکل

وظیفه 1

هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه با ارتفاع کشیده شده به سمت آن به قطعات 5 و 13 سانتی متر تقسیم می شود. طول این ارتفاع را پیدا کنید.

راه حل

بیایید از اولین فرمول ارائه شده در استفاده کنیم ویژگی 4:

وظیفه 2

پایه های یک مثلث قائم الزاویه 9 و 12 سانتی متر است. طول ارتفاع کشیده شده به سمت هیپوتانوس را پیدا کنید.

راه حل

ابتدا، بیایید طول هیپوتنوز را در امتداد پیدا کنیم (اجازه دهید پاهای مثلث باشند "به" и "B"، و هیپوتانوس است "در مقابل"):

c² = الف² + ب² = 9² + 12² = 225.

در نتیجه ، с = 15 سانتی متر

اکنون می توانیم فرمول دوم را از آن اعمال کنیم خواص 4در بالا مورد بحث قرار گرفت: