در این مقاله به بررسی زوایای مجاور می پردازیم، قضیه را در رابطه با آنها (از جمله پیامدهای آن) بیان می کنیم و همچنین ویژگی های مثلثاتی زوایای مجاور را فهرست می کنیم.
تعریف گوشه های مجاور
دو زاویه مجاور که با اضلاع خارجی خود یک خط مستقیم تشکیل می دهند نامیده می شوند مجاور. در شکل زیر این گوشه ها هستند α и β.
اگر دو گوشه دارای راس و ضلع یکسانی باشند، آنها هستند مجاور. در این صورت، مناطق داخلی این گوشه ها نباید قطع شوند.
اصل ساختن گوشه مجاور
یکی از اضلاع گوشه را از طریق راس بیشتر گسترش می دهیم، در نتیجه یک گوشه جدید در مجاورت گوشه اصلی تشکیل می شود.
قضیه زاویه مجاور
مجموع درجات زوایای مجاور 180 درجه است.
گوشه مجاور 1 + زاویه مجاور 2 = 180 درجه
1 مثال
یکی از زوایای مجاور 92 درجه است، دیگری کدام است؟
راه حل، با توجه به قضیه ای که در بالا مورد بحث قرار گرفت، واضح است:
زاویه مجاور 2 = 180 درجه – زاویه مجاور 1 = 180 درجه – 92 درجه = 88 درجه.
پیامدهای قضیه:
- زوایای مجاور دو زاویه مساوی با یکدیگر برابرند.
- اگر یک زاویه در مجاورت یک زاویه قائمه (90 درجه) باشد، آنگاه 90 درجه نیز خواهد بود.
- اگر زاویه مجاور یک زاویه حاد باشد، آنگاه بزرگتر از 90 درجه است، یعنی گنگ است (و بالعکس).
2 مثال
فرض کنید زاویه ای در مجاورت 75 درجه داریم. باید بیشتر از 90 درجه باشد. بگذار چک کنیم.
با استفاده از قضیه، مقدار زاویه دوم را می یابیم:
180 درجه - 75 درجه = 105 درجه.
105 درجه > 90 درجه، بنابراین زاویه مات است.
خواص مثلثاتی زوایای مجاور
- سینوس های زوایای مجاور برابرند یعنی گناه α = گناه β.
- مقادیر کسینوس و مماس زوایای مجاور مساوی هستند، اما دارای علائم متضاد هستند (به جز مقادیر نامشخص).
- کیهان α = -cos β.
- tg α = -tg β.