در این نشریه، یکی از قضایای کلاسیک هندسه نزدیک را در نظر خواهیم گرفت - قضیه Ceva که به افتخار مهندس ایتالیایی جیووانی سیوا چنین نامی را دریافت کرد. ما همچنین نمونه ای از حل مسئله را به منظور تجمیع مطالب ارائه شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
بیان قضیه
مثلث داده شده است الفبا، که در آن هر رأس به نقطه ای در طرف مقابل متصل است.
بنابراین، ما سه بخش (AA', BB' и CC') که نامیده می شوند سیوین ها.
این بخش ها در یک نقطه تلاقی می کنند اگر و فقط اگر تساوی زیر برقرار باشد:
|و'| |نه| |CB'| = |قبل از میلاد مسیح'| |تغییر مکان'| |AB'|
قضیه را می توان به این شکل نیز ارائه داد (مشخص می شود که نقاط به چه نسبتی اضلاع را تقسیم می کنند):
قضیه مثلثاتی سیوا
توجه: تمام گوشه ها جهت دار هستند.
نمونه ای از یک مشکل
مثلث داده شده است الفبا با نقطه به', ب и در مقابل ' در طرفین BC, AC и AB، به ترتیب. رئوس مثلث به نقاط داده شده متصل می شوند و قطعات تشکیل شده از یک نقطه عبور می کنند. در عین حال، نقاط به' и ب در وسط اضلاع مخالف مربوطه گرفته شده است. دریابید که نقطه در چه نسبتی است در مقابل ' طرف را تقسیم می کند AB.
راه حل
بیایید با توجه به شرایط مسئله یک نقاشی بکشیم. برای راحتی ما، نماد زیر را اتخاذ می کنیم:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
فقط باید نسبت بخش ها را مطابق قضیه Ceva بسازیم و نماد پذیرفته شده را در آن جایگزین کنیم:
پس از کاهش کسرها به دست می آید:
از این رو، AC' = C'B، یعنی نقطه در مقابل ' طرف را تقسیم می کند AB در نیمه
بنابراین، در مثلث ما، بخش ها AA', BB' и CC' میانه هستند. پس از حل مسئله، ثابت کردیم که آنها در یک نقطه (معتبر برای هر مثلثی) تلاقی می کنند.
توجه داشته باشید: با استفاده از قضیه Ceva می توان ثابت کرد که در یک مثلث در یک نقطه، نیمسازها یا ارتفاعات نیز قطع می شوند.