در این نشریه، ما تعریف یک سیستم معادلات جبری خطی (SLAE)، ظاهر آن، انواع آن و همچنین نحوه ارائه آن را به صورت ماتریسی، از جمله یک توسعه یافته، در نظر خواهیم گرفت.
تعریف سیستم معادلات خطی
سیستم معادلات جبری خطی (یا به اختصار "SLAU") سیستمی است که به طور کلی به این صورت است:
- m تعداد معادلات است؛
- n تعداد متغیرها است.
- x1، ایکس2،…، ایکسn - ناشناس؛
- a11,12…، آmn - ضرایب برای مجهولات؛
- b1، ب2، …، بm - اعضای رایگان
شاخص های ضریب (aij) به شرح زیر تشکیل می شوند:
- i عدد معادله خطی است.
- j تعداد متغیری است که ضریب به آن اشاره دارد.
راه حل SLAU - چنین اعدادی c1، C2،…، جn ، در تنظیم که به جای x1، ایکس2،…، ایکسn، تمام معادلات سیستم به هویت تبدیل می شوند.
انواع SLAU
- همگن - تمام اعضای آزاد سیستم برابر با صفر هستند (b1 = ب2 = … = بm = 0).
- ناهمگون - در صورت عدم رعایت شرایط فوق
- مربع – تعداد معادلات برابر است با تعداد مجهولات، یعنی
m = n . - کم تعیین شده است - تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معادلات است.
- نادیده گرفته شده معادلات بیشتر از متغیرها هستند.
بسته به تعداد راه حل ها، SLAE می تواند:
- مشترک حداقل یک راه حل دارد علاوه بر این، اگر منحصر به فرد باشد، سیستم را معین و اگر چندین راه حل وجود داشته باشد، نامعین نامیده می شود.
SLAE فوق مشترک است، زیرا حداقل یک راه حل وجود دارد:
X = 2 ، y = 3. - ناسازگار سیستم هیچ راه حلی ندارد.
سمت راست معادلات یکسان است، اما سمت چپ اینطور نیست. بنابراین، هیچ راه حلی وجود ندارد.
نمادگذاری ماتریسی سیستم
SLAE را می توان به شکل ماتریس نشان داد:
AX = B
- A ماتریسی است که توسط ضرایب مجهولات تشکیل می شود:
- X - ستون متغیرها:
- B – ستون اعضای رایگان:
مثال
ما سیستم معادلات زیر را به صورت ماتریسی نشان می دهیم:
با استفاده از فرم های بالا، ماتریس اصلی را با ضرایب، ستون هایی با اعضای مجهول و آزاد می سازیم.
رکورد کامل سیستم معادلات داده شده به صورت ماتریسی:
ماتریس SLAE توسعه یافته
اگر به ماتریس سیستم A ستون اعضای رایگان را در سمت راست اضافه کنید Bبا جدا کردن داده ها با یک نوار عمودی، یک ماتریس توسعه یافته از SLAE دریافت می کنید.
برای مثال بالا، به این صورت است:
- تعیین ماتریس توسعه یافته